「fが単射」「Ker f = {e}」は同値
準同型 命題
堀田 17p 命題3.5
fが単射なら、$ Ker f = f^{-1}(e') \ni eは唯一の元からなるから明らかにKer f ={e}
逆に$ Ker f = {e} とすると
$ x,y \in Gに対して、$ f(x) = f(y)とすると
$ e = f(x)f(y)^{-1} = f(xy^{-1})したがって、$ xy^{-1} \in Ker f = {e}
すなわち$ xy^{-1} = eゆえに $ x=y
---.icon
証明でよく用いられるらしい